Con lắc lò xo treo thẳng đứng

CON LẮC LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG

1. Mô tả hiện tượng

1 2 3 O x O x l 0 l CB P → F → dh x Δl 0 – Δl 0
– Dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng được miêu tả qua 3 tiến trình như hình vẽ trên .

   + Giai đoạn 1: Khi chưa treo vật, lò xo không biến dạng và có chiều dài tự nhiên ℓ0

Bạn đang đọc: Con lắc lò xo treo thẳng đứng

+ Giai đoạn 2 : Khi treo vật, vật ở vị trí cân đối, lò xo dãn Δℓ0
+ Giai đoạn 3 : Kích thích cho vật xê dịch thì vật giao động điều hòa quanh vị trí cân đối O
– Tần số góc giống như con lắc lò xo nằm ngang : \ ( \ omega = \ sqrt { \ dfrac { k } { m } } \ )

2. Phân tích hiện tượng

– Ở giai đoạn 2: Vật ở VTCB, lò xo dãn \(\Delta \ell_0\)

+ Chiều dài của lò xo : \ ( \ ell_ { CB } = \ ell_o + \ Delta \ ell_0 \ )
+ Vật ở VTCB nên : \ ( \ overrightarrow { P } + \ overrightarrow { F_ { dh } } = \ overrightarrow { 0 } \ Rightarrow P = F_ { dh } \ Rightarrow mg = k \ Delta \ ell_0 \ Rightarrow \ Delta \ ell_0 = \ frac { mg } { k } \ ) ( 1 )

– Giai đoạn 3: Vật dao động điều hòa quanh O, khi vật có li độ x, ta có: 

+ Chiều dài lò xo : \ ( \ ell = \ ell_ { CB } + x = \ ell_0 + \ Delta \ ell_0 + x \ )
+ Độ biến dạng của lò xo : \ ( \ Delta \ ell = | \ Delta \ ell_0 + x | \ )
+ Lực đàn hồi : \ ( F_ { dh } = k \ Delta \ ell = k | \ Delta \ ell_0 + x | \ ) ( 2 )
+ Lực hồi sinh : \ ( F_ { hp } = k | x | \ )

– Nhận xét: 

+ Để nhớ những công thức trên, những bạn chỉ cần nhớ hình vẽ biểu lộ 3 quá trình ở trên rồi tự suy ra .
+ Từ ( 1 ) ta suy ra : \ ( \ dfrac { k } { m } = \ dfrac { g } { \ Delta \ ell _ 0 } \ Rightarrow \ omega = \ sqrt { \ dfrac { g } { \ Delta \ ell_0 } } \ )
+ Từ ( 2 ) ta suy ra : \ ( F_ { dhmax } = k ( \ Delta \ ell_0 + A ) \ ) ( khi vật ở vị trí thấp nhất )
+ Nếu \ ( \ Delta \ ell_0 > A \ ) : Trong quy trình giao động, lò xo luôn dãn, khi đó : \ ( F_ { dhmin } = k ( \ Delta \ ell_0 – A ) \ ) ( khi vật ở vị trí cao nhất )
+ Nếu \ ( \ Delta \ ell_0 \ leq A \ ) : Trong quy trình xê dịch, lò xo dãn khi \ ( x > – \ Delta \ ell_0 \ ), lò xo nén khi \ ( x < \ Delta \ ell_0 \ ) : \ ( F_ { dhmin } = 0 \ ) tại vị trí : \ ( x = - \ Delta \ ell_0 \ )

3. Năng lượng dao động

* Chọn mốc tính thế năng tại VTCB của vật, khi đó thế năng vẫn được tính giống như thế năng của con lắc lò xo nằm ngang .
– Động năng : \ ( W_đ = \ dfrac { 1 } { 2 } mv ^ 2 \ )
– Thế năng đàn hồi : \ ( W_t = \ dfrac { 1 } { 2 } kx ^ 2 \ )
– Cơ năng : \ ( W = W_đ + W_t = W_đ = \ dfrac { 1 } { 2 } mv ^ 2 + \ dfrac { 1 } { 2 } kx ^ 2 = W_ { đmax } = W_ { tmax } = \ dfrac { 1 } { 2 } mv_ { max } ^ 2 = \ dfrac { 1 } { 2 } kA ^ 2 \ )

4. Bài tập ví dụ

Bài tập: Con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên ℓ0=50cm, độ cứng k = 100N/m, treo vật nặng khối lượng m = 400g. Kích thích cho vật dao động điều hòa quanh VTCB với biên độ 8cm. Lấy g = 10m/s2. Chọn trục tọa độ có gốc ở VTCB, chiều dương hướng xuống, mốc thời gian khi vật qua VTCB theo chiều dương.

a ) Tìm chiều dài của lò xo khi vật ở VTCB .
b ) Viết phương trình giao động .
c ) Tìm tốc độ và tần suất tại vị trí lực đàn hồi có độ lớn cực tiểu .
d ) Tìm thời hạn ngắn nhất từ thời gian khởi đầu đến khi lò xo không biến dạng .
e ) Tìm thời hạn lò xo bị nén trong 1 chu kì .
f ) Tìm cơ năng của hệ .
g ) Tìm động năng của vật và thế năng của lò xo khi lò xo có chiều dài 56 cm .
h ) Tại vị trí Wđ = 3 Wt. Tính chiều dài của lò xo .
i ) Tìm lực đàn hồi cực lớn, cực tiểu .
k ) Tìm li độ tại vị trí độ lớn lực phục sinh bằng lực đàn hồi .

Hướng dẫn giải:

1 2 3 O x O x l CB P → F → dh x Δl 0 50 cm = 4 cm – 4 cm – 8 cm 8 cm
a ) Ở VTCB : \ ( \ Delta \ ell_0 = \ dfrac { mg } { k } = \ dfrac { 0,4. 10 } { 100 } = 0,04 m = 4 cm \ )
Chiều dài của lò xo : \ ( \ ell_ { CB } = \ ell_0 + \ Delta \ ell_0 = 50 + 4 = 54 cm \ )
b ) Tần số góc : \ ( \ omega = \ sqrt { \ dfrac { k } { m } } = \ sqrt { \ dfrac { 100 } { 0,4 } } = 5 \ pi ( rad / s ) \ )
Mốc thời hạn lúc vật qua VTCB theo chiều dương nên pha bắt đầu \ ( \ varphi = – \ frac { \ pi } { 2 } \ ) rad
Phương trình giao động : \ ( x = 8 \ cos ( 5 \ pi t – \ frac { \ pi } { 2 } ) \ ) ( cm ) .
c ) Do \ ( A > \ Delta \ ell_0 ( 8 > 4 ) \ ) nên lực đàn hồi đạt cực tiểu tại \ ( x = – \ Delta \ ell_0 = – 4 cm \ )
Áp dụng công thức độc lập ta có :
Vận tốc : \ ( v = \ pm \ omega \ sqrt { A ^ 2 – x ^ 2 } = \ pm5 \ pi \ sqrt { 8 ^ 2-4 ^ 2 } = \ pm20 \ sqrt 3 \ pi \ ) ( cm / s )

Gia tốc: \(a=-\omega^2x= -(5\pi)^2.(-4)=1000\)(cm/s2) = 10m/s2

Xem thêm: Sửa lò vi sóng biến tần tại Khánh Hòa uy tín tốt nhất

d ) Lò xo không biến dạng tại li độ : \ ( x = – \ Delta l_0 = – 4 cm. \ ) Bài toán trở thành tính thời hạn ngắn nhất khi vật qua VTCB theo chiều dương đến khi li độ bằng – 4 cm. Biểu diễn bằng véc tơ quay ta có :
x 8 – 8 o – 4 M N
Véc tơ quay xuất phát tại M và kết thúc ở N, nên góc quay được : \ ( \ alpha = 180 + 30 = 210 ^ 0 \ )
Thời gian : \ ( t = \ dfrac { 210 } { 360 } T = \ frac { 7T } { 12 } \ )
Chu kì : \ ( T = \ dfrac { 2 \ pi } { \ omega } = \ dfrac { 2 \ pi } { 5 \ pi } = 0,4 s \ )
Suy ra : \ ( t = \ dfrac { 7.0,4 } { 12 } = \ dfrac { 7 } { 30 } s \ )
e ) Lò xo nén khi \ ( x < - \ Delta l _0 \ Rightarrow x < - 4 cm \ ), màn biểu diễn bằng véc tơ quay ta được : x 8 - 8 o - 4 M N nén Góc quay : \ ( \ alpha = 2.60 = 120 ^ 0 \ ) Thời gian : \ ( t = \ dfrac { 120 } { 360 } T = \ dfrac { T } { 3 } = \ dfrac { 0,4 } { 3 } = \ dfrac { 4 } { 30 } s \ )

f) Cơ năng: 

\ ( W = \ dfrac { 1 } { 2 } kA ^ 2 = \ dfrac { 1 } { 2 }. 100.0,08 ^ 2 = 0,32 J \ )

g) Áp dụng: 

\ ( \ ell = \ ell_ { CB } + x \ Rightarrow x = \ ell – \ ell_ { CB } = 56-54 = 2 cm \ )

Thế năng: 

\ ( W_t = \ dfrac { 1 } { 2 } k. x ^ 2 = \ dfrac { 1 } { 2 }. 100.0,02 ^ 2 = 0,02 J \ )

Động năng: 

\ ( W_đ = W-W_t = 0,32 – 0,02 = 0,3 J \ )

h) Tại vị trí 

\ ( W_đ = 3W _t \ Rightarrow W = 4W _t \ Rightarrow A ^ 2 = 4 x ^ 2 \ Rightarrow x = \ pm \ dfrac { A } { 2 } = \ pm \ dfrac { 8 } { 2 } = \ pm 4 cm \ )

Chiều dài lò xo: 

\ ( \ ell = \ ell_ { CB } + x = 54 \ pm4 \ )

 =>

\ ( \ ell = 50 cm \ )

 hoặc 

\ ( \ ell = 58 cm \ )

i) Lực đàn hồi cực đại: 

\ ( F_ { dhmax } = k. ( \ Delta \ ell_0 + A ) = 100. ( 0,04 + 0,08 ) = 12N \ )

Lực đàn hồi cực tiểu: 

\ ( F_ { dhmin } = 0 \ )

 (Do 

\ ( A > \ Delta \ ell_0 \ )

)

k) Độ lớn lực hồi phục bằng lực đàn hồi suy ra: 

\(k|x|=k|\Delta \ell_0+x|\Rightarrow|x|=|4+x|\Rightarrow -x=4+x\Rightarrow x=-2cm.\)

Xem thêm: Sửa lò vi sóng biến tần tại Hưng Yên uy tín tốt nhất

Như vậy, tại li độ x = – 2 cm thì độ lớn lực đàn hồi và lực phục sinh bằng nhau .

Source: https://suachuatulanh.org
Category : Thợ Lò Vi Sóng